Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices by Patrice Tauvel

By Patrice Tauvel

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Il existe un entier N 0 tel que l’on ait sup{|fN (x) − f (x)| ; x ∈ E} ε. Comme fN est continue en a, il existe un ε. Alors, si voisinage V de a dans E tel que x ∈ V implique |f N (x) − fN (a)| x ∈ V , il vient : |f (x) − f (a)| |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (a)| + |fN (a) − f (a)| 3ε. D’où l’assertion. 3. Si une suite de fonctions continues sur E converge uniformément sur E , sa limite est continue sur E . 4. Soit f une suite de fonctions continues sur E convergeant simplement vers une fonction f sur E .

Fixons r, r tels que |x| r < r < 1. Soit n ap bq xpq . Sn (x) = p,q=1 On va prouver que : lim Sn (x) = F (x) = G(x). n Par symétrie, il suffit de prouver la première égalité. Soit ε > 0. Il existe n0 ∈ N tel que : n n0 ⇒ ∞ ∞ |bp |r p < ε , p=n+1 |ap |r p < ε. p=n+1 On a : ∞ s=1 ∞ bs f (xs ) − Sn (x) n |bs | |f (xs )| + s=n+1 ∞ A bs f (xs ) − s=1 |bs |r s + s=n+1 n Aε + s=1 |bs | n q=1 ∞ |bs |. s=1 ∞ |aq |r sq q=n+1 rs q r q |aq | q=n+1 n r aq xsq Solutions des exercices Comme r s 49 r < r < 1, on a donc : ∞ ∞ bs f (xs ) − Sn (x) s=1 car ∞ |bs |ε Aε + s=1 rs r r q |aq | q=n+1 ∞ rs r q rs r rs · r |aq |r q ε |bs |r s Aε + Bε.

2. Soient I un intervalle de R et f = (f n )n une suite de fonctions sur I vérifiant les conditions suivantes : (i) Toutes les fonctions f n sont dérivables sur I . 2 • Suites et séries de fonctions 26 (ii) La suite g = (fn )n converge uniformément sur I vers une fonction g. (iii) Il existe α ∈ I tel que la suite fn (α) n converge. Alors la suite f converge simplement sur I vers une fonction f , et cette convergence est uniforme sur toute partie bornée de I . En outre, f est dérivable sur I , et f = g.

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