Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Matthias Wendt

By Matthias Wendt

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En eine Z-Basis von H. Dann heißt n λi ei | 0 ≤ λi ≤ 1 P (e1 , . . , en ) = i=1 Fundamentalparallelotop oder Grundmasche des Gitters H. 6. F¨ ur je zwei Z-Basen e1 , . . , en und e1 , . . , en ist vol(P (e1 , . . , en )) = vol(P (e1 , . . , en )), wobei vol das Volumen bez¨ uglich des Standard-Lebesgue-Maßes bezeichnet. Beweis. F¨ ur je zwei Z-Basen ei und ei gibt es eine Basiswechselmatrix A ∈ GLn Z und es gilt vol(P (e1 , . . , en )) = | det A| vol(P (e1 , . . , en )). Das Lemma erlaubt, f¨ ur ein Gitter H ⊆ Rn ein Volumen durch vol(H) = vol(P (e1 , .

Yn ∈ I −1 mit xi yi = 1. F¨ ur beliebiges a ∈ I ist dann a = xi (yi a) mit yi a ∈ I −1 · I = R, also erzeugen die xi schon I. Als n¨ achstes zeigen wir, daß R ganz-abgeschlossen ist. h. xn + a1 xn−1 + · · · + an = 0. n Insbesondere liegt x im gebrochenen Ideal I, das von 1, x, . . , xn−1 erzeugt wird. Damit ist I 2 ⊆ I, und I invertierbar liefert I ⊆ R. Also ist x ∈ R und R ganz-abgeschlossen. Zuletzt die Krull-Dimension. Sei (0) = p ⊆ R ein Primideal, a ∈ R \ p. Wir betrachten das Ideal I = p + (a).

Beweis. 18 folgt |dK | ≥ π 3 3π n−1 4 > 1. 21 (Hermite). F¨ ur gegebenes d ∈ Z gibt es nur endlich viele Zahlk¨ orper mit Diskriminante d. Beweis. 18 ist der Grad beschr¨ankt. Es reicht also, zu zeigen, daß es nur endlich viele Zahlk¨ orper mit gegebenem d, r1 und r2 gibt. F¨ ur r1 > 0 sei B die Menge der (y1 , . . , yr1 , z1 , . . , zr2 ) ∈ Rr1 × Cr2 mit |y1 | ≤ 2n π 2 −r2 |d|, |yi | ≤ 1 1 f¨ ur 2 ≤ i ≤ r1 , |zj | ≤ f¨ ur 1 ≤ j ≤ r2 . 2 2 F¨ ur r1 = 0 sei B die Menge (z1 , . . , zr2 ) ∈ Cr2 mit |z1 − z1 | ≤ 2n π 2 1−r2 |d|, |z1 + z1 | ≤ 1 1 , |zj | ≤ f¨ ur 2 ≤ j ≤ r2 .

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