Algebra (2006), Edition: version 31 Jul 2006 by Claus Scheiderer

By Claus Scheiderer

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P−2 ). Die h¨ oheren Potenzen von ζ kann man mit Hilfe der Relation Φp (ζ) = 0 durch diese Basis ausdr¨ ucken. 11. Korollar. Sei L/K eine K¨ orpererweiterung und K ⊂ A ⊂ L ein Teilring mit dimK (A) < ∞. Dann ist A selbst ein K¨ orper. Beweis. F¨ ur α ∈ A ist K[α] ⊂ A, also dimK K[α] < ∞. 9 ist K[α] ein K¨ orper, insbesondere α−1 ∈ K[α] ⊂ A f¨ ur α = 0. Somit ist A ein K¨ orper. Alternativer Beweis: F¨ ur 0 = a ∈ A ist die Abbildung A → A, x → ax K-linear und injektiv, wegen A nullteilerfrei.

An−1 KAPITEL II K¨ orpertheorie I Wir wollen in den kommenden Wochen die L¨ osungen von Polynomgleichungen an xn + · · · + a1 x + a0 = 0 mit Koeffizienten in einem K¨ orper K systematisch studieren. Der n¨ achstliegende Fall ist der, wo alle ai rationale Zahlen sind. Wir wissen schon, daß es im allgemeinen keine L¨ osungen in K zu geben braucht, daß man also den Grundk¨ orper erweitern muß. Es wird sich zeigen, daß ein systematisches Studium der K¨ orpererweiterungen von K der Schl¨ ussel zur L¨ osung von Polynomgleichungen u ¨ber K ist.

Beweis. Sei f = MinPol(α/K) ∈ K[t], sei r ≥ 0 maximal, so daß f (t) ein Polynom r r in tp ist. 11). Es folgt MinPol(αp /K) = g, insbesondere ist αp separabel u ¨ber K. 9. Definition. h. nicht separabel) u ¨ber K ist. 10. Korollar. Sei char(K) = p > 0. Die algebraische Erweiterung L/K ist genau r dann rein inseparabel, wenn es zu jedem α ∈ L ein r ≥ 0 gibt mit αp ∈ K. r Beweis. 8. Umgekehrt sei α ∈ L K mit αp =: c ∈ K. r r Dann ist MinPol(α/K) ein Teiler von tp −c = (t−α)p . Also ist α inseparabel u ¨ber K.

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